miércoles, 8 de diciembre de 2010

Teorema de semejanzas

Sin embargo, parar probar que dos tri angulos son semejantes no es necesario probar estas seis propiedades.

Seg un el teorema fundamental de la semejanza de tri angulos, para que dos tri angulos sean semejantes, basta que cada uno posea dos  ángulos congruentes.

                        

*Una consecuencia de esto es que cualquier paralela a un lado del tri angulo genera otro tri angulo semejante al original.

 

Semejanzas de figuras planas

Proporcionalmente iguales...

En Geometr a, diremos que dos guras son semejantes (~ ) si y s olo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, es decir, una corresponde a una "ampliaci ón"de la otra.

IMPORTANTE:

*Si dos polígonos regulares tienen igual número de lados, entonces son semejantes.


*Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia.


*La congruencia es un caso particular de la semejanza.

(Para la PSU, interesa en particular la semejanza de triángulos. Diremos que dos triángulos son semejantes cuando los  ángulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los  ángulos del otro y además, tengan sus lados homólogos proporcionales).

martes, 7 de diciembre de 2010

Según sus congruencias

a.  Segmentos congruentes
Son segmentos congruentes aquellos que tienen igual medida  .  Si los  son congruentes, entonces se escribe  .


   

b.  Ángulos congruentes
Ángulos congruentes son aquellos que tienen igual medida . Si  y  son congruentes, entonces se escribe .







c.  Triángulos congruentes
Se dice que un DABC es congruente con otro DDEF si sus lados respectivos son congruentes y sus ángulos respectivos también los son.



Dado que estos triángulos tienen lados respectivamente congruentes, que son:  ; y que también tienen ángulos respectivamente congruentes, a saber: . Entonces es posible afirmar:  


Si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.
La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos.

lunes, 6 de diciembre de 2010

Criterios

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:
  • Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
                   Graphics

  • Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
                                       Graphics
  • Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
                               Graphics

Ejemplos de congruecia de figuras planas

Se dice que dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos, tales como: rotación, traslación, simetría con respecto a una recta. .

Ejemplo 1

 La figura que se muestra a continuación en S es congruente con S;S';S", realizando los movimientos de simetría con respecto a una recta y una traslación de tal forma que estas coincidan.


Ejemplo 2


La caricatura (teniendo en cuenta que se trata de figuras planas) que se muestra a continuación en F es congruente con la de F;F';F'';F''' realizando los movimientos de rotación, simetría con respecto a una recta y traslación, de tal forma que las figuras coincidan.


                                        

Intuitivamente hablando, dos figuras geomítricas son congruentes si ellas tienen (...) el mismo tamaño y forma.  Por ejemplo, en la figura que se encuentra a continuación, los tres triíngulos son congruentes. 

De acuerdo a lo anterios

De acuerdo a lo anterior se tiene que los triángulos ABC, DEF y GHI son congruentes.


                            


Una manera de describir la situación es decir que cualquiera de esos triángulos se puede hacer coincidir con cualquier otro.  Por ejemplo, para que DABC coincida con DDEF, debemos hacer corresponder A con E, B con F y C con D.


Para describir la congruencia del primer triángulo y el tercero, debemos hacer corresponder los vértices de la siguiente forma:


                                                 




Por lo tanto,


                                                  

miércoles, 1 de diciembre de 2010

¿ Qué es una congruencia ?

Todo el tema de congruencia se desarrolla en el conjunto de los números enteros, pero por simplicidad, y para facilitar el uso con alumnos, haremos mención sólo de los naturales en los ejemplos, aunque los resultados se generalizan fácilmente.

 No se demuestra ningún resultado, ya que el objetivo de estos apuntes es tan solo mostrar un recorrido breve por los aspectos teóricos más interesantes.